费希尔信息是什么意思? 费希尔信息量计算公式

费希尔信息（Fisher Information）（有时简称为信息）是一种测量可观察随机变量X携带的关于模型X的分布的未知参数θ的信息量的方法。形式上，它是方差得分，或观察到的信息的预期值。在贝叶斯统计中。

文章目录：

1. 费希尔信息是什么意思?
2. 费希尔信息量计算公式

一、费希尔信息是什么意思?

费希尔信息（Fisher Information）（有时简称为信息）是一种测量可观察随机变量X携带的关于模型X的分布的未知参数θ的信息量的方法。形式上，它是方差得分，或观察到的信息的预期值。在贝叶斯统计中，后验模式的渐近分布取决于Fisher信息，而不依赖于先验（根据Bernstein-von Mises定理，Laplace为指数族预测）。

统计学家Ronald Fisher强调了Fisher信息在最大似然估计渐近理论中的作用（遵循Francis Ysidro Edgeworth的一些初步结果）。 Fisher信息也用于Jeffreys先验的计算，用于贝叶斯统计。Fisher信息矩阵用于计算与最大似然估计相关联的协方差矩阵。它也可以用于测试统计的制定，例如Wald测试。

扩展资料

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

特征函数为

参考资料来源：

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二、费希尔信息量计算公式

费希尔信息量（Fisher information）是一种衡量样本信息量的指标，它描述了在给定概率分布下，从样本中获取的信息量大小。费希尔信息量可以用于估计模型参数的精度和对比不同模型的拟合效果，被广泛应用于统计学、机器学习等领域。本文将介绍费希尔信息量的计算公式及其应用。1.费希尔信息量的定义

给定一个概率密度函数 $p(x|\theta)$，其中

$\theta$ 是未知的参数，我们希望从样本 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 中获取对参数 $\theta$ 的信息量。费希尔信息量 I 是描述这种信息量的一个指标，它的定义为：

$$

I(\theta)=-E_{\theta}\left[\frac{\partial^2\log

p(x|\theta)}{\partial\theta^2}\right]

$$

其中，$\partial^2\log p(x|\theta)/\partial\theta^2$ 是关于 $\theta$ 的一阶偏导数，$E_{\theta}[ \cdot ]$ 表示在参数 $\theta$ 下的期望。

费希尔信息量的含义可以理解为：在给定概率密度函数 $p(x|\theta)$ 的条件下，我们从样本中获取的信息量大小与 $\theta$ 的曲率有关，即 $\theta$ 曲线的变化越剧烈，样本提供的信息量就越大。

2.费希尔信息量的计算公式

对于伯努利分布等一些简单的分布，费希尔信息量可以直接求出，但对于一般的分布，求解费希尔信息量需要用到高阶导数，计算比较复杂。在实际应用中，可以采用以下公式快速计算费希尔信息量：

$$

I(\theta)=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\partial\log

p(x|\theta)}{\partial\theta}\right)^2p(x|\theta)dx

$$

这个公式的证明可以参见相关的数学统计教材，这里不再赘述。

3.费希尔信息量的应用

3.1 用于估计模型参数的精度

假设我们有一个模型 $f(x|\theta)$，其中

$\theta$ 是模型的参数，我们可以通过极大似然估计（maximum likelihood

estimation）来估计参数 $\theta$。具体地，我们希望找到一个 $\hat{\theta}$，使得样本的对数似然函数 $\log L(\theta)$

最大。

在正态分布等一些简单分布中，经典的极大似然估计可以达到渐进最优的效果，但对于一些复杂的分布，如混合高斯模型，极大似然估计可能会陷入局部最优解。为了减少估计误差，我们通常会计算估计量的方差，即 $\mathrm{Var}[\hat{\theta}]$，这个方差的倒数就是费希尔信息量的估计 $\hat{I}(\theta)$。

在具体应用中，我们通常会使用以下公式计算费希尔信息量的估计值：

$$

\hat{I}(\theta)=\left[-\frac{1}{n}\frac{\partial^2\log

L(\theta)}{\partial\theta^2}\right]_{\theta=\hat{\theta}}

$$

这个公式的含义可以理解为：利用样本估计出的参数 $\hat{\theta}$ 带入到对数似然函数中，计算其二阶偏导数的负值再除以样本容量 $n$，得到的值就是费希尔信息量的估计。

3.2 用于模型选择

在模型比较中，可以使用费希尔信息量来表示模型的拟合效果。我们通常希望选择一个参数估计量的方差较小、估计量的分布较紧凑的模型，这意味着该模型可以更好地从样本中提取信息。

在正态分布等一些简单分布中，使用AIC（Akaike

information criterion）等标准来比较模型的拟合效果已经足够，但对于一些复杂的分布，这种做法可能不够准确。此时，可以使用费希尔信息量作为评价指标，选择费希尔信息量较大的模型。

4.总结

费希尔信息量是一种衡量样本信息量大小的指标，可以用于估计模型参数的精度和比较不同模型的拟合效果。通过计算对数似然函数的二阶偏导数，可以求出准确的费希尔信息量，但在实际应用中，我们通常使用快速计算公式来估计费希尔信息量的值。

希望文字工具网搜集的关于费希尔的2点解答对大家有用。